Operasi Hitung Pada Pengukuran

Di dalam ilmu MATEMATIKA sudah di jelaskan bahwa ilmu MATEMATIKA merupakan suatu ilmu pasti yang sudah terbukti kebenarannya, di dalam MATEMATIKA banyak materi-materi yang akan di jelaskan.
Di sini saya akan membahas tentang Operasi Hitung Pada Pengukuran, klik di sini untuk melihat ataupun men_download materi  klik di sini

Bilangan Bulat dan Bilangan Pecahan

Pengerjaan Operasi Hitung Bilangan Bulat dengan Pecahan Biasa pada akhirnya akan sama dengan pengerjaan Operasi Hitung Pecahan Biasa, hanya saja harus diawali dengan mengubah Bilangan Bulat menjadi Pecahan Biasa terlebih dahulu, setelah Bilangan Bulat itu sudah menjadi Bilangan Pecahan Biasa, maka pengerjaannya sama persis dengan pengerjaan Operasi Hitung Bilangan Pecahan Biasa.

Maka dari itu yang pertama akan dibahas disini adalah bagaimana cara mengubah Bilangan Bulat menjadi Bilangan Pecahan Biasa,  dan...... ternyata sangat mudah!!!!.

Masih ragu ????

heheheheheh..... gampang sekali yakin..... klik di sini

Bangun Ruang

Ilmu matematika tidak pernah lepas dari rumus-rumus matematika mengenai bangun ruang seperti kubus, balok, kerucut, tabung, limas, dan bola. Artikel kali ini akan saya tuliskan tentang rumus bangun ruang yang ada di dalam pelajaran matematika seperti rumus kubus, rumus tabung, rumus limas, rumus kerucut,  untuk mengetahui / mempelajari / mengingat kembali luas dan volume masing-masing bangun ruang.

Bangun ruang berbeda dengan bangun datar didalam menentukan rumusnya , yaitu tergantung dari bentuk bangun masing-masing. untuk mengetahui lebih lanjut klik di sini

Bangun Datar

Silahkan klik di sini untuk mengetahui macam-macam bangun datar

LOGIKA MATEMATIKA

1. PERNYATAAN

Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran benar saja atau salah saja dan tidak kedua-duanya. Istilah-istilah lain dari pernyataan adalah kalimat matematika tertutup, kalimat tertutup, kalimat deklaratif, statement atau proposisi.

2. PERNYATAAN TUNGGAL DAN MAJEMUK

Suatu kalimat selain dibedakan atas pernyataan dan bukan pernyataan, kalimat juga dibedakan pula atas pernyataan tunggal dan pernyataan majemuk. Pernyataan tunggal atau pernyataan sederhana adalah pernyataan yang tidak memuat pernyataan lain atau sebagai bagiannya, sedangkan pernyataan majemuk dapat merupakan kalimat baru yang diperoleh dengan cara menggabungkan beberapa pernyataan tunggal.

Dua pernyataan tunggal atau lebih dapat digabungkan menjadi sebuah kalimat baru yang merupakan pernyataan majemuk, sedangkan tiap pernyataan bagian dari pernyataan majemuk disebut komponen-komponen pernyataan majemuk. Komponen-komponen dari pernyataan majemuk itu tidak selamanya harus pernyataan tunggal, tetapi mungkin saja pernyataan majemuk. Namun yang terpenting adalah bagaimana menggabungkan pernyataan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk.

Untuk menggabungkan pernyataan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk dapat dipakai kata gabung atau kata perangkai yang disebut operasi-operasi logika matematika.

Contoh:

1.      Jakarta adalah ibukota negara RI

2.      Merah putih adalah bendera negara RI

3.      2 adalah bilangan prima yang genap

4.      Jika suatu bilangan habis dibagi dua maka bilangan itu genap

3. OPERASI LOGIKA

Adapun operasi-operasi yang dapat membentuk pernyataan majemuk adalah

1.      Negasi atau ingkaran, dengan kata perangkai tidaklah benar, simbol  “ ~ “

2.      Konjungsi, dengan kata perangkai dan, simbol “ Ù “

3.      Disjungsi, dengan kata perangkai atau, simbol “ Ú “

4.      Implikasi, dengan kata perangkai Jika ……, maka …., simbol “ Þ “

5.      Biimplikasi, dengan kata perangkai ....jika dan hanya jika…., simbol “ Û “

Contoh pernyataan majemuk:

a.       Bunga mawar berwarna merah dan bunga melati berwarna putih

b.      Ani dan Ana anak kembar

c.       Cuaca hari ini mendung atau cerah

d.      Jika x = 0 maka

e.       Suatu segitiga dikatakan segitiga sama sisi jika dan hanya jika ketiga sudutnya sama

4. TABEL KEBENARAN

1.      Operasi Negasi

Operasi negasi atau ingkaran adalah operasi yang dikenakan hanya pada sebuah pernyataan. Operasi negasi dilambangkan “ ~ “, Jika p adalah pernyataan tunggal, maka ~p adalah pernyataan majemuk. Negasi dari suatu pernyataan yang bernilai benar adalah salah dan negasi dari suatu pernyataan yang bernilai salah adalah benar.

Definisi: Suatu pernyataan dan negasinya mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan.

Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:

P	-P
B	S
S	B

Contoh:

p    :  Jakarta ibukota negara Republik Indonesia

~ p :  Jakarta bukan ibukota negara Republik Indonesia

2.      Operasi Konjungsi

Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai dan disebut konjungsi. Operasi konjungsi dilambangkan dengan “ Ù “

Definisi: Sebuah konjungsi bernilai benar jika komponen-komponennya bernilai benar, dan bernilai salah jika salah satu dari komponennya bernilai salah

Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:

p	q	p ^ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

3.      Operasi Disjungsi

Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai atau disebut disjungsi. Operasi disjungsi dilambangkan dengan “ Ú  “

Definisi: Sebuah disjungsi inklusif bernilai benar jika paling sedikit salah satu komponennya bernilai benar, sedangkan disjungsi eksklusif bernilai benar jika paling sedikit komponennya bernilai benar tetapi tidak kedua-duanya.

Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:

Disjungsi Inklusif:                                               Disjungsi Eksklusif:

p	q	p v q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

p	q	p v q
B	B	S
B	S	B
S	B	B
S	S	S

4.      Operasi Implikasi

Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai Jika  maka .. disebut implikasi. Operasi implikasi dilambangkan dengan “ Þ “

Definisi: Sebuah pernyataan implikasi hanya salah jika antesedennya benar dan konsekwennya salah, dalam kemungkinan lainnya implikasi bernilai benar.

Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:

p	q	p  Þ  q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

5.      Operasi Bi-implikasi

Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai …… jika dan hanya jika …… disebut biimplikasi. Operasi biimplikasi dilambangkan dengan “ Û “

Definisi: Sebuah pernyataan biimplikasi bernilai benar jika komponen-koponennya mempunyai nilai kebenaran sama, dan jika komponen-koponennya mempunyai nilai kebenaran tidak sama maka biimplikasi bernilai salah.

Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:

p	q	p  Û  q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Himpunan

             

• Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.
• Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Cara Penyajian Himpunan

1.      Enumerasi

Contoh 1.

a.       Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.     

b.      Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.            

c.       C = {kucing, a, Amir, 10, paku}

d.      R  = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }

e.       C  = {a, {a}, {{a}} }

f.       K  = { {} }

g.      Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }

h.      Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

Keanggotaan

x Î A : x merupakan anggota himpunan A;

x Ï A : x bukan merupakan anggota himpunan A.

Contoh 2.

Misalkan:

A = {1, 2, 3, 4},  R  = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }

K  = {{}}

Maka

3    A

5    B

{a, b, c} Î R

c Ï R

{} Î K

{} Ï R                                                                                                            

Contoh 3.

Bila

P₁ = {a, b}, P₂ = { {a, b} }, P₃ = {{{a, b}}},

Maka

a Î P₁

a Ï P₂

P₁ Î P₂

P₁ Ï P₃

P₂ Î P₃

2.      Simbol-simbol Baku

P =  himpunan bilangan bulat positif  =  { 1, 2, 3, ... }

N =  himpunan bilangan alami (natural)  =  { 1, 2, ... }

Z =  himpunan bilangan bulat  =  { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

Q =  himpunan bilangan rasional

R =  himpunan bilangan riil

C =  himpunan bilangan kompleks

U =  Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.

Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

3.      Notasi Pembentuk Himpunan

Notasi: { x ú syarat yang harus dipenuhi oleh x }

Contoh 4.

·       A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5

A = { x | x  adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari  5} atau  A  =  { x | x  P, x < 5 }  yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}

·       M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}        

4.      Diagram Venn

Contoh 5.

Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

Diagram Venn:

Kardinalitas

·       Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.

·       Notasi: n(A) atau êA ê

Contoh 6.

a.      B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 },  atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka ½B½ = 8

b.      T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka ½T½ = 5

c.       A = {a, {a}, {{a}} }, maka ½A½ = 3